附录 A1 - V 型谷的解析验证¶

本例用一个简单的 V 型谷，比较 LESS 模拟结果与解析解。谷地的一侧为 Lambertian 反射坡面，另一侧为黑色吸收坡面。在垂直太阳光照射下，可以计算不同观测方向的 BRF，以及整个谷地的反照率和吸收率。

下面给出场景设置、解析公式和 LESS 3.1.0 在 OptiX、Vulkan、Embree 三个后端上的对比结果。

三维场景¶

下图展示谷地的三维结构，可拖动或使用方向键旋转。也可以单独打开三维预览，下载后离线查看。

V 型谷三维场景：西坡为 Lambertian，东坡为黑色

条件	设置
水平单元	X、Y 均为 0–2 m；谷轴沿 Y 方向
坡面	左右坡度均为 45°，谷内开口角为 90°
高程	谷底 Z = 0.1 m，两侧谷缘 Z = 1.1 m
西坡（X < 1 m）	不透射 Lambertian；550、850、1600 nm 的反射率分别为 0.2、0.6、0.9
东坡（X > 1 m）	完全吸收，反射率和透射率均为 0
底部地形	Z = 0 的黑色平地，被两坡完全覆盖
边界	水平周期边界，最多穿越 10000 次；等价于沿谷轴无限延伸、横向重复的谷地
光照	垂直平行太阳光，各波长的法向辐照度均为 1 W m⁻² nm⁻¹；无大气、无天空光
观测	横断面内 −70° 至 +70°，间隔 10°；正值朝东（方位角 90°），负值朝西（270°）
采样计划	BRF 和通量各使用 100 万、200 万、400 万光子；最终采用 400 万

谷地由四个三角形组成，放置在平坦地形上。水平开口面积为 4 m²，因此各波长的入射通量均为 4 W nm⁻¹。后续分别比较三个波长上的模拟结果。

解析解¶

谷内的辐射传播¶

太阳光均匀照射两个坡面。黑坡吸收全部入射辐射；灰坡将其中一部分按 Lambertian 规律反射。反射光随后从谷口逸出，或落到黑坡上被吸收。由于黑坡不再反射，灰坡的出射辐亮度处处相同，由此可以得到下面的解析解。

方向 BRF¶

设坡度为 \(\beta=45^\circ\)，灰坡反射率为 \(\rho\)，太阳法向辐照度为 \(E_0\)。灰坡的直接辐照度为 \(E_0\cos\beta\)，其出射辐亮度为

\[ L_g=\frac{\rho E_0\cos\beta}{\pi}. \]

令 \(\theta\) 为上表定义的带符号观测天顶角。灰坡占水平开口在观测方向投影的可见比例为

\[ f_g(\theta)=\operatorname{clip}\!\left( \frac{1+\tan\beta\tan\theta}{2},0,1\right). \]

开口平均辐亮度是 \(\bar L=f_g L_g\)，所以

\[ \mathrm{BRF}(\theta)=\frac{\pi\bar L}{E_0} =\rho\cos\beta\,f_g(\theta). \]

在 −45° 以下灰坡完全被遮挡，BRF 为 0；在 +45° 以上，可见开口全部由灰坡占据，BRF 为 \(\rho/\sqrt2\)。星下点为 \(\rho/(2\sqrt2)\)。尽管局部表面是 Lambertian，整谷的方向 BRF 仍随角度变化。

通量与吸收¶

对沿谷轴无限延伸的等宽坡面，Hottel 交叉弦法给出灰坡到黑坡的视因子

\[ F_{gb}=\frac{2l-w}{2l}=1-\cos\beta, \]

其中坡长 \(l=\sqrt2\) m，开口宽度 \(w=2\) m。视因子的几何推导可参阅 NASA《Thermal Radiation Heat Transfer》§2 的交叉弦法。

灰坡接收一半的入射通量，其中 \(\rho\) 被反射，反射通量中 \(1-F_{gb}=\cos\beta\) 从开口逃逸。因此，整谷反照率 \(R\) 和吸收率 \(A\) 为

\[ R=\frac{\rho}{2}(1-F_{gb})=\frac{\rho}{2\sqrt2}, \qquad A=1-R. \]

灰坡和黑坡的吸收率分别为 \((1-\rho)/2\) 和 \(1/2+\rho F_{gb}/2\)，相加即为整谷吸收率。

波长 / nm	灰坡反射率	解析整谷反照率	解析整谷吸收率
550	0.2	0.07071068	0.92928932
850	0.6	0.21213203	0.78786797
1600	0.9	0.31819805	0.68180195

以上数值由解析公式直接计算。

模拟结果¶

三波长多角度 BRF 与解析值，以及最大绝对误差

曲线为解析值，彩色点为三个后端的模拟值；右图按每个观测角取三个波长中的最大误差。

整谷通量分配和光子预算检查

左图对比整谷逃逸通量、吸收通量与解析值；右图展示三个采样预算下的最大 BRF／反照率误差。

误差评价¶

以解析值为参考，采用以下绝对误差阈值进行评价。

指标	阈值
15 个方向 × 3 个波长的最大 BRF 绝对误差	≤ 0.005
三波长最大反照率／吸收率绝对误差	各 ≤ 0.005
通量闭合误差 \(\lvert R+A+T-1\rvert\)	≤ 0.0001
未完成路径通量占比 \(T\)	≤ 0.00001
最后两个预算间 BRF、反照率、吸收率的最大绝对变化	≤ 0.003

通量由 ForwardRadiationFieldSensor 记录。逃逸通量除以入射通量得到反照率，网格与地形的吸收通量之和除以入射通量得到吸收率。\(T\) 表示达到路径深度或周期穿越上限时，光子仍携带的通量比例。

最终结果：每个产品 400 万光子¶

后端	最大 BRF 误差	最大反照率误差	最大吸收率误差	通量闭合误差	最后预算变化	结论
OptiX	0.00000728	0.00005252	0.00005249	2.69e-08	0.00005782	通过
Vulkan	0.00000728	0.00005296	0.00005296	1.42e-08	0.00005782	通过
Embree	0.00000728	0.00005252	0.00005249	2.69e-08	0.00005782	通过

三个后端均满足上述阈值，未完成路径通量均为 0。光子初始位置采用随机化 Sobol 低差异采样，后续散射采用独立随机采样。光子数从 100 万增加到 200 万、400 万时，最大 BRF 误差分别为 0.00000436、0.00000549、0.00000728。最后两个预算间的最大变化为 0.00005782，低于 0.003 的阈值。

下载与复现¶

把脚本保存在 scripts/，把 input.json 和 scene.obj 保存在同级的 data/v-valley/，安装 LESS 及 matplotlib 后运行：

python scripts/appendix_v_valley.py --output build/v-valley

运行需要三个后端均可用。脚本依次完成模拟，输出结果数据（JSON）和三张对比图（SVG），其中包含各采样预算的数值、误差及执行信息。